Projekty a granty

Paralelizace výpočetních postupů ve stavební mechanice

SP2017/171

Rozbor stavu problematiky V současné době jsou již běžně dostupné počítače a pracovní stanice s více jádry nebo procesory. Klasické výpočetní systémy používané pro úkoly stavební statiky (případně dynamiky), prakticky výhradně založené na metodě konečných prvků (MKP), ovšem vychází z předpokladu počítače s jedním procesorem a tím také ze sériového (postupného) provádění jednotlivých operací. Není tak možné přímo využít výhod, které moderní počítače nabízejí. Metoda konečných prvků obsahuje několik fází, kdy je možné relativně snadno upravit algoritmus (a příslušný počítačový program) tak, aby využíval možnosti paralelního (současného) provádění operací na více procesorech: jde zejména o sestavování matic tuhostí jednotlivých prvků (tyto jsou vzájemně nezávislé) a výpočet vnitřních sil na prvcích. Naopak problematickou je úprava operace řešení soustavy lineárních rovnic (K.u=F), která je nejdůležitější a výpočetně nejnáročnější fází MKP. Zde se nabízí teoreticky jednoduchá možnost využít k řešení některou z iteračních metod, která je založena především na násobení matic a vektorů (tj. některou z variant Metody sdružených gradientů) a využít skutečnosti, že operaci násobení vektorů lze rozdělit do více nezávislých částí, a tedy také relativně snadno [1] paralelizovat. Tento přístup je postupně zaváděn do komerčních programů, nicméně přináší řadu problémů a komplikací, jak je dobře ukázáno v [2]. Obrovskou výhodou uvedeného postupu je jeho transparentnost pro uživatele: v rámci řešení není třeba nijak zasahovat do výpočetního modelu (provádět speciální přečíslování, speciální dělení na podoblasti aj.). Uvedený postup ovšem přináší také omezení (viz např. [2]), zejména ve velikosti řešitelné úlohy (možné zrychlení výpočtu je v závislosti na charakteru použitého počítače omezeno velikostí úlohy a to jak shora, tak zdola – navíc je často výrazně menší, než by odpovídalo teoretickému nárůstu výkonu při použití více procesorů). Z těchto důvodů jsou, zvláště pro speciální a rozsáhlé úlohy, využívány postupy jiné. Obvykle jsou využívány tzv. metody dekompozice domén, ve kterých je řešený problém rozdělen na více podoblastí, které jsou zpravidla analyzovány nezávisle, a poté je řešena úloha vzájemné kompatibility deformací jednotlivých domén, přičemž řešení může být jak přímé, tak iterační. Pokročilým postupem jsou metody na bázi FETI [4], vyvíjené i na VŠB-TUO [5]. Tyto postupy jsou vhodné pro velmi rozsáhlé úlohy (stovky milionů neznámých a více). Ve stavební mechanice jsou zpravidla řešeny úlohy o několik řádů menší, a to i s ohledem na možnou diskretizaci úloh (přesnost vstupních dat – nemá smysl dělit betonovou desku do úrovně atomů, když vlastnosti a poloha mnohem větších celků - např. kameniva, drátků – nejsou a nemohou být v době návrhu přesně známy). Z těchto důvodů se jeví pro účely stavební mechaniky použití relativně jednodušší metody Schurova doplňku [3]. Jde opět metodu dekompozice domén, kdy se využívá vhodného rozdělení úlohy na podoblasti a očíslování uzlů v konečných prvcích tak, aby uzly na rozhraní oblastí byly číslovány jako poslední. Tato úprava pak umožní podstatné zjednodušení matematické formulace úlohy a rozdělení na 2 základní fáze: paralelní výpočet jednotlivých podoblastí a řešení úlohy na rozhraní (ta může být také paralyzována a to např. na základě postupů v [1] a [2]). Tato metoda byla základně ověřena v práci [6] na úlohách desky na Winklerově podloží, kde je ukázáno, že i aplikace uvedené metody na jednom procesoru (bez využití paralelizace) může vést k výraznému zkrácení výpočetního času (až 2x). K praktickému využití uvedeného postupu je však potřebné provést další práce, především ověřit typické vlastnosti matic tuhosti, které jsou během výpočtu vytvářeny (jejich řídkost, distribuci nenulových prvků) a provést další, především programátorské a testovací, práce, které umožní ověření vytvořené implementace na víceprocesorovém počítači a následné vývoj software pro praktické použití. Reference [1] R. Barrett, M. W. Berry, T. F. Chan, J. Demmel, J. Donato, J. Dongarra, V. Eijkhout, R. Pozo, C. Romine, H. Van der Vorst, Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods, Siam, 1994 [2] S. Fialko, Parallel direct solver for solving systems of linear equations resulting from finite element method on multi-core desktops and workstations, Computers and Mathematics with Applications, 2015, 70, 2968-2987 [3] J. Kruis, Domain Decomposition Methods for Distributed Computing, Saxe Coburg Publications, 2006 [4] C. Farhat, F. Roux, A Method of Finite Element Tearing and Interconnecting and its Parallel Solution, Algorithm Int. J. Numer. Meth. Engrg., 1991, 32, 1205-1227 [5] T. Kozubek, V. Vondrak, M. Mensik, D. Horak, Z. Dostal, V. Hapla, P. Kabelikova, M. Cermak, Total FETI domain decomposition method and its massively parallel implementation Advances in Engineering Software, 2013, 60-61, 14-22 [6] J. Koktan. Numerická analýza desek na podloží s využitím principů paralelního provádění. Diplomová práce, odevzdáno 2016. Přehled použitých metod K řešení bude používána metoda konečných prvků, primárně se čtyřuzlovými deskovými prvky, která bude modifikována pro využití v metodě Schurova doplňku. Využíván bude algoritmický software GNU Octave, případně Matlab, který umožňuje efektivně provádět maticové operace a poskytuje prostředky k analýze vytářených matic. Harmonogram řešení: * od zahájení do 3/2017: výzkum typických vlastností matic tuhosti z hlediska efektivní paralelizace * 3/2017-6/2017: zpracování algoritmů pro efektivní práci s maticemi a zabudování na do programu * 3/2017-5/2017: publikování průběžných výsledků (3-zpracování, 5-konference) * 7/2017-9/2017: paralelizování algoritmu matody Schurova doplňku * 9/2017-konec projektu: testování a "ladění" programu (realizace testovacích úloh) * 10/2017-11/2017 - publikování konečných výsledků (odeslání příspěvku do 11/2017) Zdůvodnění zapojení jednotlivých členů týmu Bc. Jiří Koktan bude hlavním pracovníkem, který bude zodpovídat za vývoj algoritm. doc. Jiří Brožovský budu působit jako školitel. Bc. Petra Adamčíková bude provádět kontrolní výpočty v běžném software. Předchozí dosažené výsledky členů týmu – studentů • P. Mynarcik, J. Labudkova, J. Koktan, EXPERIMENTAL AND NUMERICAL ANALYSIS OF INTERACTION BETWEEN SUBSOIL AND POST-ENSIONED SLAB-ON-GROUND, Jurnal Teknologi, 2016 • J. Koktan, J. Brožovský, NUMERICAL MODELLING OF TIME-DEPENDENT BEHAVIOUR OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURE WITH USE OF B3 MODEL, Transactions of the VŠB – Technical University of Ostrava, Civil Engineering Series,Volume 14, Issue 2

2017

2017

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

SGS

Specifický výzkum VŠB-TUO

Koktan Jiří Ing.